撰文 |文蘭（中國科學院院士、北京大學數(shù)學學院教授）1什么是悖論

我們給悖論下一個“進行式”的定義：悖論就是導致矛盾但原因不明的推理。根據(jù)這一定義，一旦矛盾的原因找到了，悖論也就不再是悖論了。另外，矛盾的原因應該比較難于察覺。這一定義可能與許多文獻中對悖論的定義不同。筆者主張這一定義。2理發(fā)師悖論

(相關資料圖)

某村有一理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。請問他給不給自己理發(fā)？若他給自己理發(fā)，則他是一個給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應該不給自己理發(fā)。矛盾。若他不給自己理發(fā)，則他是一個不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應該給自己理發(fā)。也矛盾。這是一段有名的、非常有趣的推理。由于找不出矛盾的原因，這段推理就被稱為“理發(fā)師悖論”。但真的找不出矛盾的原因嗎？本文的目的就是說明，其實這一矛盾的原因并不難察覺，故理發(fā)師悖論不足以稱為悖論。3理發(fā)師悖論的解決

讓我們把理發(fā)師悖論再敘述一遍：某村存在一理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。請問他給不給自己理發(fā)？若他給自己理發(fā)，則他是一個給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應該不給自己理發(fā)。矛盾。若他不給自己理發(fā)，則他是一個不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應該給自己理發(fā)。也矛盾。如果這一次還不容易看出矛盾的原因，請注意，第二次陳述時，把第一次陳述里的第三個字 “有”換成了“存在”。其他沒動。這樣一換，是不是比較容易看出矛盾的原因了呢？是的，應該說這樣一換就比較容易看出，矛盾的原因是假設了這樣一個理發(fā)師的存在。因此， 這一矛盾無非說明，具有這種性質(zhì)的理發(fā)師（即恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)）在本村不存在罷了。矛盾的原因找到了，悖論也就不成其悖論了，問題也就解決了。4文字游戲？

但矛盾的原因是怎樣找到的呢？我們把“有”換成了“存在”。這是不是文字游戲，是不是偷換概念，是不是改變了問題呢？當然不是。“有”就是“存在”。把“有”換成“存在”，沒有改變問題，只是用語更科學、更醒目，使人注意到，原來這里隱藏著一個“存在”的假設。假設，或者說前提，對推理是至關重要的。知道有假設，推出矛盾就不會大驚小怪，無非說明假設不正確罷了。但若不知道有假設，推出矛盾就會無法解釋，就要驚呼為悖論了。因此，千萬不要丟失、模糊任何假設。5引經(jīng)據(jù)典

按說理發(fā)師悖論這樣就解決了。不過人們可能不太放心，問題破解得太容易了：只換了一個詞“存在”，就啟發(fā)、導致了答案。這個答案太平淡無奇了。為了讓人徹底相信，這個答案一點也不平淡，問題確實出在存在性上，讓我們引經(jīng)據(jù)典，回顧集合論創(chuàng)始人康托的一個定理。為此先要回顧一下集合論的幾個概念：映射、滿射、子集的集。設X和Y為兩個集。所謂一個從X到Y的映射f: X→Y是指一個法則，它對X中的每一x，指定Y中唯一一個元素。這個為x指定的唯一元素稱作x在f下的像，記為f(x)。稱X為映射的定義域，Y為映射的值域。如果值域Y中的每一個元素都是定義域X中某個元素的像，就稱f是一個滿射。如圖所示：

我們還需要一個概念：子集所成的集。設X為一個集。用P(X)表示集X的所有子集所成的集。例如，若X={1, 2, 3}，則。6康托定理

康托定理對任何集X，不存在從X到P(X)的滿射。證明任取一個映射f: X→P(X)。要證f不是滿射。為此令

我們來證明，不存在z∈X，使得f(z)=C。為此用反證法。假設存在z∈X，使得f(z)=C。那么，若z?C，則z∈f(z)。但f(z)=C，故z∈C。矛盾。若z∈C，則z?f(z)。但f(z)=C，故z?C。也矛盾。這說明不存在z∈X，使得f(z)=C。故f不是滿射，康托定理得證?？低卸ɡ硎羌险撟钤纾沧钪匾亩ɡ碇?。這個定理之優(yōu)美，大概可以代表人類的智慧。這個定理一般放在大學數(shù)學系的三年級課程《實變函數(shù)論》中講，但它幾乎不用什么基礎知識，是中學生可以理解、欣賞的?？低卸ɡ淼年愂鲆话銥椋安淮嬖趶腦到P(X)的一一對應”，但實際上不存在滿射。不存在滿射當然就更不存在一一對應。7康托定理與理發(fā)師悖論的比較

康托定理與理發(fā)師悖論有什么關系呢？我們來給康托定理一個“理發(fā)”的解釋。用表示該村的人的集。對每一村民x，用f(x)表示村里被x理發(fā)的那些人的集，即x的“顧客集”。那么康托所考慮的集合

不存在z∈X，使得f(z)=C。翻譯成理發(fā)的語言就是：村里不存在這樣的理發(fā)師，恰給本村那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)。這是康托證明的一個深刻的事實。讓我們把康托推理的過程也翻譯成理發(fā)的語言看看：若z?C，則z∈f(z)。但f(z)=C，故z∈C。矛盾。（若他給自己理發(fā)，則他是一個給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應該不給自己理發(fā)。矛盾。）若z∈C，則z?f(z)。但f(z)=C，故z?C。也矛盾。（若他不給自己理發(fā)，則他是一個不給自己理發(fā)的人。按照他的原則，他應該給自己理發(fā)。也矛盾。）可見，理發(fā)師推理就是康托推理。8評 述

那么，為什么康托定理與理發(fā)師悖論一個是定理，一個是悖論呢？康托明確寫道，這樣一個z的存在只是假設。所以推出矛盾毫不驚訝，而是立即做出結論：不存在這樣一個z。理發(fā)師悖論卻用日常語言的“有”模糊了科學語言的“存在”?！按嬖凇睋Q成“有”以后，就不知不覺從假設變成了天經(jīng)地義，于是矛盾無法解釋，成了“悖論”。可見，我們在前面把“有”換回成“存在”，確實不是文字游戲。理發(fā)師悖論的問題確實出在存在性上。但說“換回”對嗎？誰先誰后呢？康托定理（1895），理發(fā)師悖論（1907），康托在先。因此，說“換回”是對的?？低猩羁痰刈C明了，不存在這樣一個古怪的理發(fā)師。12年后，理發(fā)師悖論全盤照收了康托的推理過程，卻模糊了康托的存在性假設，致使矛盾無法解釋，造成“悖論”。這不像個惡作劇嗎？9關于羅素悖論

讀者可能知道羅素悖論，聽說過“理發(fā)師悖論是羅素悖論的通俗版”的說法。如上所述，理發(fā)師悖論幾乎是對康托定理的一個惡作劇。那么羅素悖論呢？這個問題留給讀者追蹤、思考最好。但急于知道答案是人類的優(yōu)良天性，所以也簡單說明一下：羅素悖論（1902）顯然受到了康托定理的啟發(fā)，但它與理發(fā)師悖論有很大的不同。它的假設隱蔽得多，以致當時的集合論無法察覺。當然該假設最終還是被后來的集合論徹底破解了，所以羅素悖論早已不再是悖論了。但羅素悖論極大地刺激了當時的集合論，對集合論的進步有重大的意義。【后記】其實，像理發(fā)師悖論這樣易于破解的“悖論”可以要多少有多少，都是對康托定理的惡作劇。比如“恰愛那些不愛自己的人”，“恰恨那些不恨自己的人”，“恰表揚那些不表揚自己的人”，“恰批評那些不批評自己的人”，“恰修理那些不修理自己的機器人”，“恰引用那些不引用自己的書”，等等等等。理發(fā)作為這些“反身及物動詞”中的一個只是特別生動形象罷了。本文根據(jù)文蘭院士在雙流棠湖中學所做公眾報告整理成文。原文發(fā)表于《數(shù)學通報》2011年第12期，原標題為《康托定理與理發(fā)師悖論》。

標簽： 理發(fā)師悖論 無法解釋 文字游戲