很多陰謀論是這樣開(kāi)始的：只要數(shù)據(jù)庫(kù)夠大，渴望尋找規(guī)律的眼睛總能發(fā)現(xiàn)看起來(lái)可疑的東西。但其實(shí)，人類(lèi)特別不擅長(zhǎng)識(shí)別什么是真正的隨機(jī)。不過(guò)如果你懂?dāng)?shù)學(xué)，就可以認(rèn)識(shí)到，一些違背直覺(jué)的結(jié)果其實(shí)完全可以預(yù)見(jiàn)，一點(diǎn)也不詭異。

撰文丨Eddie Woo

翻譯丨陽(yáng)曦一

20世紀(jì)70年代初，水門(mén)丑聞淹沒(méi)了美國(guó)政治，徹底改變了人們看待總統(tǒng)的眼光。時(shí)任美國(guó)總統(tǒng)理查德·尼克松被發(fā)現(xiàn)嚴(yán)重違法，而且他還安排了一場(chǎng)大戲掩蓋整個(gè)違法事件。這一事件為什么會(huì)對(duì)大眾心理產(chǎn)生如此深遠(yuǎn)的影響？部分原因在于公眾看到的事件發(fā)展過(guò)程一波三折。

水門(mén)事件的新聞剛爆出來(lái)的時(shí)候，大部分人覺(jué)得這只是一件無(wú)足輕重的小事，很快就會(huì)消失在新聞的視野之外，就像普通一天里的其他瑣事一樣。隨著調(diào)查的深入，人們意識(shí)到這件事不會(huì)很快結(jié)束，主流觀點(diǎn)認(rèn)為水門(mén)事件正在成為一場(chǎng)捕風(fēng)捉影的獵巫。堂堂的國(guó)家元首竟然是個(gè)肆意參與叛國(guó)行動(dòng)的犯罪分子，而且濫用特權(quán)踐踏正義，幾乎沒(méi)人能容忍這種事情。有一段時(shí)間，那些相信尼克松總統(tǒng)有罪的少數(shù)派被視為怪人和陰謀論者，他們捏造的荒謬故事毫無(wú)可行性，更不可能是真的。

直到劇情徹底逆轉(zhuǎn)，每個(gè)人最深的恐懼突然成真。經(jīng)過(guò)一系列堪比好萊塢大片的波折和反轉(zhuǎn)，令人震驚的真相終于浮出水面——那些陰謀論者才一直是對(duì)的。

水門(mén)事件是陰謀論時(shí)代的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在那之前，相信暗語(yǔ)、秘密社團(tuán)和政府掩蓋真相的人往往被視為瘋子。但水門(mén)事件迫使大眾承認(rèn)，哪怕那些看起來(lái)最荒誕不經(jīng)的說(shuō)法有時(shí)候也可能是真的。

陰謀論為什么在全世界的每個(gè)角落長(zhǎng)盛不衰，隔一陣子就冒頭？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，數(shù)學(xué)有自己的答案。令人驚訝的是，它讓我們看到，陰謀論者的磨坊永遠(yuǎn)不會(huì)缺少原料。我們?cè)跀?shù)據(jù)自然形成的海洋里游弋，這片海洋和我們的世界所具備的天性決定了陰謀論者永遠(yuǎn)可以指著某些東西說(shuō)，這正是我們眼皮子底下那些可疑行為和秘密存在的“證據(jù)”。

為了理解這一切是如何發(fā)生的，我們不妨先思考一個(gè)孩子們玩的非常簡(jiǎn)單的解謎游戲，你肯定聽(tīng)說(shuō)過(guò)，它叫：找單詞。

我曾花費(fèi)大量時(shí)間玩這個(gè)游戲。在成長(zhǎng)的過(guò)程中，我甚至有一本專(zhuān)門(mén)的找單詞解謎書(shū)（現(xiàn)在我意識(shí)到，它是我媽對(duì)我煩不勝煩的時(shí)候給自己找清靜的重磅武器之一）。

找單詞的謎題看起來(lái)是這樣的：

這個(gè)謎題里藏著彩虹的全部七種顏色：紅（red）、橙（orange）、黃（yellow）、藍(lán)（blue）、綠（green）、青（indigo）和紫（violet）。有的單詞需要橫著找，有的要豎著讀，甚至有單詞藏在斜線上。小心——還有的單詞是反著寫(xiě)的（從右到左，而不是從左到右）。作為額外的獎(jiǎng)賞，這張表里還藏著另一種我沒(méi)說(shuō)的顏色——試試看，你能不能找到它！

自己創(chuàng)造一個(gè)找單詞謎題并不難。我出題的時(shí)候只是畫(huà)了張空白的表格，然后把我想要添加的單詞一個(gè)個(gè)添加進(jìn)去。完成這一步以后，我只需要用一系列隨機(jī)的字母填滿(mǎn)空格就行。砰——變！找單詞謎題出現(xiàn)了。

但是，如果我跳過(guò)第一步——在謎題中加入我的單詞——那會(huì)怎樣？如果我出一個(gè)完全由隨機(jī)字母構(gòu)成的謎題，那會(huì)發(fā)生什么？下面這張3×3的表格就是個(gè)例子：

不出所料，它看起來(lái)完全不知所云。事實(shí)也的確如此——不管你怎么看，都無(wú)法在這張表格里找到任何英語(yǔ)單詞?？墒乾F(xiàn)在，如果我分別增加一行和一列，看看會(huì)發(fā)生什么：

如果你從第一行的B開(kāi)始，順著斜線滑向右下方——顯然，你會(huì)看到“壞”（bad）這個(gè)單詞一下子蹦了出來(lái)！不僅如此——從第二行的第二個(gè)字母開(kāi)始，從左向右讀，你還會(huì)找到第二個(gè)詞：爸爸（dad）。這堆隨機(jī)字母是不是想說(shuō)，我不是個(gè)好爸爸？！

如果我再增加一行和一列，讓它變成一張5×5的表格，你甚至?xí)吹礁鄦卧~自然地出現(xiàn)。除了“壞”和“爸爸”以外，我還看到了“里面”（in）、“做”（do）、“不”（no）、“澤德”（zed）、“是”（be）、“命令”（bade）和“麻煩”（ado）。單詞的數(shù)量直線上升！

這到底是怎么回事？我沒(méi)有刻意在這張表格里寫(xiě)下任何單詞——下面的兩張表格是以同樣的方式隨機(jī)創(chuàng)建的，每張表格里同樣充滿(mǎn)了單詞：

在左邊這張表里，我能找到：小馬（pony）、公牛（ox）、木材（log）、不是（not）、色彩（hue）、哇（yay）和水療（spa）。

右邊的表里有：小精靈（elf）、公牛（ox，它出現(xiàn)了三次?。?、前度（ex）、凸輪（cam）、做（do）、紅（red）、有趣（fun）、空隙（gap）、哦（oh）、瞧（lo）和不（no）。

你可以創(chuàng)造自己的“隨機(jī)”找單詞表格，只需要把下面這個(gè)網(wǎng)址輸入你的搜索引擎：www.bit.ly/findaword。

如果你進(jìn)入這個(gè)網(wǎng)址玩一玩，你也會(huì)發(fā)現(xiàn)，要?jiǎng)?chuàng)建一張完全不包含任何英語(yǔ)單詞的表格真的非常難。所以，這是怎么回事？

你觀察到的這種現(xiàn)象叫“無(wú)序的不可能性”（impossibility of disorder）。

混沌之海里必然存在有序的島嶼——只要這片海足夠大。

我們剛才親自證明了這個(gè)論斷：3×3的表格里一個(gè)單詞都沒(méi)有，但隨著表格變大，避免單詞出現(xiàn)變得十分困難。

研究這種情況的數(shù)學(xué)分支叫作拉姆齊理論（Ramsey theory），這個(gè)名字來(lái)自英國(guó)數(shù)學(xué)家兼經(jīng)濟(jì)學(xué)家弗蘭克·P.拉姆齊。讀者里可能很少有人接觸過(guò)這方面的數(shù)學(xué)，因?yàn)樗鶎俚念I(lǐng)域叫作圖論（graph theory），澳大利亞所有的數(shù)學(xué)必修課都沒(méi)有涉及圖論。

如果說(shuō)學(xué)校里教的數(shù)學(xué)像一趟悉尼之旅，那么代數(shù)就是歌劇院——每個(gè)人最終都會(huì)去看它。從另一方面來(lái)說(shuō)，圖論就像你家附近的便利店——它不是游客愛(ài)去的地方，只有一小撮人對(duì)它有所了解。和便利店一樣的是，這些人之所以了解它，是因?yàn)樗軒椭麄兘鉀Q日常問(wèn)題。

拉姆齊理論最清晰的范例是一個(gè)名叫“派對(duì)問(wèn)題”（Party Problem）的場(chǎng)景。辦過(guò)派對(duì)的人都知道，確定賓客名單是一件難事。當(dāng)然，你邀請(qǐng)的所有人都是你的朋友，但他們彼此之間是否存在友誼呢？圖論是研究關(guān)系的數(shù)學(xué)，它能幫助我們理解事物通過(guò)特殊關(guān)系彼此聯(lián)結(jié)的任何情況。比如說(shuō)，鐵路線串起郊區(qū)，電線連接房屋——友誼凝聚人群。

舉個(gè)例子，假如你希望派對(duì)上有至少三個(gè)人要么互為朋友，要么互不相識(shí)。在這兩種情況下，你都可以保證他們聊得起來(lái)。如果這三個(gè)人互相認(rèn)識(shí)，那他們會(huì)像著了火的房子一樣一拍即合。如果三個(gè)人全都是初次見(jiàn)面，那他們可以在你的派對(duì)上認(rèn)識(shí)彼此。大家肯定能玩得開(kāi)心！

圖論幫助我們理解、解決這個(gè)問(wèn)題的第一條路是，它為我們提供了用數(shù)學(xué)形式來(lái)描述這種局面的途徑。生活中的某些問(wèn)題之所以難以回答，是因?yàn)槟闵踔梁茈y厘清局面。但是，如果我們能用簡(jiǎn)單的示意圖提煉出關(guān)鍵的細(xì)節(jié)，問(wèn)題就解決了一半。

下面的兩個(gè)圈代表派對(duì)上的兩個(gè)人。如果二者之間是實(shí)線，那代表他們互相認(rèn)識(shí)，虛線代表互不相識(shí)。

利用這件工具，我們可以用示意圖畫(huà)出任意人際關(guān)系的“派對(duì)”，無(wú)論他們是否相識(shí)。如果除了A以外，我們還請(qǐng)了5個(gè)人來(lái)參加派對(duì)，那么這位特定的客人（在這個(gè)例子里是A）和其他客人的關(guān)系有12種基本組合。在這12種情況下，你都能看到有三個(gè)人的小團(tuán)體被標(biāo)亮了——他們要么互為朋友，要么互不相識(shí)。

因?yàn)槲覀兛偰苷业饺齻€(gè)互相認(rèn)識(shí)或者互不相識(shí)的人，這意味著只要你邀請(qǐng)至少6個(gè)人，就一定能找到這樣的小團(tuán)體。如果你想知道左頁(yè)的示意圖是怎么畫(huà)出來(lái)的，我們又如何證明6是確保這一情況出現(xiàn)的最小數(shù)字，請(qǐng)直接跳到“6個(gè)人夠多了”那章。

這和我們的找單詞謎題或者陰謀論者又有什么關(guān)系？呃，拉姆齊理論告訴我們，隨著組合結(jié)構(gòu)（combinatorial structure）——它可能是一群朋友，也可能是一張找單詞的表格，甚至是報(bào)紙上的一篇文章——的膨脹，必然會(huì)出現(xiàn)特定的結(jié)構(gòu)和“規(guī)律”。所以當(dāng)我們的表格膨脹到一定的尺寸，英語(yǔ)單詞就會(huì)憑空冒出來(lái)。

進(jìn)一步說(shuō)，很多陰謀論也正是這樣開(kāi)始的。只要數(shù)據(jù)庫(kù)夠大，渴望尋找規(guī)律的眼睛總能發(fā)現(xiàn)看起來(lái)可疑的東西。

數(shù)字命理學(xué)家是一群總在數(shù)字中尋找規(guī)律的人，他們擅長(zhǎng)將重要的意義賦予特定的數(shù)字。2017年，數(shù)字命理學(xué)家度過(guò)了一個(gè)狂歡日，在那一天，音樂(lè)家杰斯（Jay-Z）發(fā)布了一張名為《4：44》的專(zhuān)輯，主打歌也與之同名，這位歌手兼創(chuàng)作人似乎在這個(gè)時(shí)間醒來(lái)然后寫(xiě)了這首歌。

一位數(shù)字命理學(xué)家認(rèn)為，這首歌的名字與杰斯的私人生活關(guān)系密切：“（他老婆的）生日是4日，他媽媽的生日是4日，他自己的生日也是4日，而且他是在4日結(jié)婚的?！边@當(dāng)然是個(gè)驚人的規(guī)律，但拉姆齊理論明明白白地告訴我們，在這個(gè)擁有70億人口的世界上，這么巧合的事情必然會(huì)在某個(gè)地方發(fā)生。（歸根結(jié)底，一年里有12個(gè)4日——這意味著現(xiàn)在活著的人里至少有2.3億人出生在4日，這些人里還會(huì)有相當(dāng)一部分互相結(jié)了婚?。?/p>

拉姆齊理論宣稱(chēng)，結(jié)構(gòu)必然會(huì)自發(fā)地從混沌（只要它的規(guī)模夠大?。┲懈‖F(xiàn)，有時(shí)候它會(huì)以最出乎意料的方式出現(xiàn)在我們的日常生活中。比如說(shuō)，蘋(píng)果發(fā)布iPod的時(shí)候就遇到了超乎預(yù)期的自發(fā)式結(jié)構(gòu)。雖然在那之前，便攜式音樂(lè)播放器已經(jīng)存在了很多年，但iPod問(wèn)世以后，無(wú)論走到哪里都能調(diào)用自己全部音樂(lè)庫(kù)的人出現(xiàn)了大幅增長(zhǎng)。CD播放器一次只能裝一張專(zhuān)輯，iPod突破了這個(gè)限制，人們可以輕輕松松地把成百上千首歌放進(jìn)口袋。

iPod shuffle同樣擁有這個(gè)新特性，除此以外，它的特點(diǎn)是隨機(jī)播放。這個(gè)型號(hào)的iPod設(shè)計(jì)理念是從內(nèi)置曲庫(kù)中隨機(jī)挑選歌曲播放，實(shí)際上它也是這樣做的——但世界各地的用戶(hù)開(kāi)始報(bào)告它的奇怪行為?！拔业膇Pod會(huì)搗亂——我的曲庫(kù)里有幾十位音樂(lè)人的作品，但它會(huì)時(shí)不時(shí)一口氣連播4、5首同一個(gè)樂(lè)隊(duì)的歌！”他們覺(jué)得自己的播放器出了問(wèn)題，不再像廣告上宣稱(chēng)的那樣“隨機(jī)播放”。有人甚至提出了一套理論：他們認(rèn)為自己的設(shè)備似乎有自己的性格，它特別偏愛(ài)某些音樂(lè)人?！拔以趺磸膩?lái)沒(méi)聽(tīng)到過(guò)曲庫(kù)里麥當(dāng)娜的歌……我的iPod似乎癡迷于噴火戰(zhàn)機(jī)樂(lè)隊(duì)！”

在拉姆齊理論的指導(dǎo)下，我們認(rèn)識(shí)到，這樣的結(jié)果其實(shí)完全可以預(yù)見(jiàn)。如果你聽(tīng)了幾百個(gè)小時(shí)隨機(jī)播放的歌曲，那你早晚會(huì)連續(xù)聽(tīng)到好幾首同一位音樂(lè)人的歌。你聽(tīng)的時(shí)間越長(zhǎng)，這種事發(fā)生的概率就越大——就像找單詞的表格越大，就越可能自發(fā)產(chǎn)生有意義的單詞。

諷刺的是，我們之所以總能在隨機(jī)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，很大程度上是因?yàn)椋簩?shí)際上人類(lèi)特別不擅長(zhǎng)識(shí)別什么是真正的隨機(jī)。比如說(shuō)，看看下面這張表格中拋硬幣的結(jié)果（正面或反面）：

再跟下面這張表比對(duì)一下：

劇透警告：這兩張表格中有一張其實(shí)不是拋硬幣的結(jié)果——而是由一個(gè)人假裝拋硬幣編造出來(lái)的。你能分清它們的真假嗎？

數(shù)學(xué)會(huì)告訴我們答案：因?yàn)閺目赡苄耘c概率的角度來(lái)說(shuō)，拋硬幣這件事特別容易理解，所以我們可以相當(dāng)準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)不同的結(jié)果序列（比如說(shuō)正面后面緊接著反面，或者連續(xù)出現(xiàn)三個(gè)反面）出現(xiàn)的概率。真相是，第一張表記錄的是真正拋了硬幣的結(jié)果，第二張表是假的。第二張表里很少連續(xù)多次出現(xiàn)相同的結(jié)果，這暴露了它是人類(lèi)編造的。人類(lèi)認(rèn)為連續(xù)四次出現(xiàn)正面或反面是不正常的——但要是你拋硬幣的次數(shù)夠多（如第一張表所示），這樣的情況必然會(huì)出現(xiàn)。

英國(guó)命理師兼魔術(shù)師達(dá)倫·布朗在一次表演中充分利用了這種現(xiàn)象，當(dāng)著現(xiàn)場(chǎng)攝像機(jī)的鏡頭，他一口氣拋出了10個(gè)正面。在這個(gè)電腦合成特效的年代，大部分人覺(jué)得他肯定對(duì)影片做了什么手腳。但布朗的確沒(méi)?；ㄕ校瑹o(wú)論是拍攝的角度還是剪輯——他真的連續(xù)扔出了10個(gè)正面。不過(guò)，為了拍到這段影像，他們花了九個(gè)多小時(shí)來(lái)拍攝，終于等到了10連正的畫(huà)面！這聽(tīng)起來(lái)可能有點(diǎn)極端，但這么長(zhǎng)的拍攝時(shí)間幾乎保證了10連正的出現(xiàn)。如果連續(xù)扔2025次硬幣，你甚至?xí)l(fā)現(xiàn)里面連續(xù)出現(xiàn)正面最多的次數(shù)不是10次，而是15次！

這種數(shù)學(xué)現(xiàn)象還有更嚴(yán)肅的應(yīng)用。說(shuō)到概率，人類(lèi)直覺(jué)地認(rèn)為，任何事連續(xù)發(fā)生的概率都不大。如果是在賭場(chǎng)里，這樣的直覺(jué)一旦出錯(cuò)就可能引發(fā)災(zāi)難性的后果。賭博成癮者常常報(bào)告稱(chēng)，他們無(wú)法自控地堅(jiān)信，連續(xù)輸了這么多次以后，自己總歸會(huì)贏一次。這種賭徒謬誤（gambler"s fallacy）既不正確又很可悲——相信這種謬誤的人往往會(huì)輸?shù)蒙頍o(wú)分文，因?yàn)樗麄兊闹庇X(jué)錯(cuò)得離譜。

拉姆齊理論的這個(gè)方面與人類(lèi)生理學(xué)的交叉產(chǎn)生的后果更加微妙。比如說(shuō)著名的安慰劑效應(yīng)：哪怕你吃下的藥、做的治療從生物學(xué)的角度來(lái)說(shuō)對(duì)病情并無(wú)幫助，它依然有可能改善你的健康狀況。這方面的記錄多不勝數(shù)，所以人們?cè)趯?duì)新藥做臨床試驗(yàn)的時(shí)候，才會(huì)要求在實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組之外設(shè)置一個(gè)安慰劑組。對(duì)照組不用藥，實(shí)驗(yàn)組使用待測(cè)試的新藥，安慰劑組用的是不含活性成分的糖丸——只是他們以為自己吃的是真正的藥物。

安慰劑組總會(huì)——無(wú)一例外——有人報(bào)告稱(chēng)，新藥讓他們感覺(jué)好轉(zhuǎn)了，哪怕他們實(shí)際上沒(méi)吃藥。對(duì)他們中的某些人來(lái)說(shuō)，病情好轉(zhuǎn)部分是因?yàn)樗麄兿嘈抛约赫娴某粤怂?。人?lèi)的身體怎么會(huì)因?yàn)樽犹摓跤械乃幎霈F(xiàn)真實(shí)的改善呢？

這是規(guī)律在發(fā)揮作用?，F(xiàn)代人從小就在耳濡目染之下將藥物和健康聯(lián)系在了一起，用心理學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，這叫經(jīng)典條件反射（classical conditioning）。條件反射會(huì)引發(fā)真實(shí)的生物學(xué)反應(yīng)，這方面最讓人記憶猶新的案例來(lái)自俄國(guó)生理學(xué)家伊萬(wàn)·巴甫洛夫。在那個(gè)著名的實(shí)驗(yàn)中，巴甫洛夫只在搖鈴后才給狗食物。建立了這一規(guī)律以后，只需要搖鈴——哪怕沒(méi)有食物——參加實(shí)驗(yàn)的狗也會(huì)因?yàn)槠诖_(kāi)飯而分泌唾液。從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來(lái)看，我們可以說(shuō)，巴甫洛夫向狗群輸入了數(shù)據(jù)，暗示食物和鈴聲之間有某種聯(lián)系。

現(xiàn)在我們把這個(gè)理念和拉姆齊理論結(jié)合起來(lái)看。假如你開(kāi)始售賣(mài)沒(méi)有醫(yī)學(xué)療效的糖丸，只是給它們貼上了感冒藥的標(biāo)簽。人們生病的時(shí)候會(huì)來(lái)買(mǎi)它，因?yàn)樗麄冇X(jué)得這種有趣的新產(chǎn)品值得一試。根據(jù)拉姆齊理論，我們可以預(yù)測(cè)，如果購(gòu)買(mǎi)、服用糖丸的人足夠多，那么肯定會(huì)有隨機(jī)的一群人在吃藥的過(guò)程中癥狀減輕，或者比平時(shí)好得快。于是這些消費(fèi)者可能會(huì)不經(jīng)意地將自己的好轉(zhuǎn)與服藥聯(lián)系在一起，哪怕他們吃的是沒(méi)有療效的安慰劑糖丸！

只要掌握了正確的觀察方法，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，秩序的島嶼在混沌之海中無(wú)處不在。天空就是一個(gè)完美的舞臺(tái)，它很好地展現(xiàn)了只要數(shù)據(jù)夠多，就必然出現(xiàn)各種不尋常的規(guī)律。白天，你會(huì)看到，天空中的白云和魚(yú)兒那么相像。

夜空更有力地證明了這一點(diǎn)：千萬(wàn)年來(lái)，星空給人們提供了太多機(jī)會(huì)，人們想象出來(lái)的各個(gè)星座，有著五花八門(mén)的有趣形狀和故事。

作者簡(jiǎn)介

埃迪·吳（Eddie Woo）

出身于華人家庭，澳大利亞著名數(shù)學(xué)教師。悉尼最大的公立高中的首席數(shù)學(xué)老師，三個(gè)孩子的父親。

2012年，吳因一位學(xué)生患癌失學(xué)，于是將課堂內(nèi)容制作成生動(dòng)有趣的視頻，并上傳YouTube供這位學(xué)生在家觀看。出乎意料的是，這些視頻很快受到了學(xué)生們的極大追捧，吳也因此被全世界的學(xué)生和數(shù)學(xué)愛(ài)好者所熟知和喜愛(ài)。至今，吳的YouTube粉絲已達(dá)140萬(wàn)，視頻總播放量超過(guò)1億次。

2018年，吳獲評(píng)“全球教師獎(jiǎng)”全球十佳教師。同年，他因突出的教育貢獻(xiàn)獲澳大利亞新州“年度當(dāng)?shù)赜⑿郦?jiǎng)” ，并出席澳大利亞國(guó)慶日慶典致辭，成為澳洲史上第一位在國(guó)慶日慶典上演講的華裔嘉賓。

本文經(jīng)出版社授權(quán)，選自《吳老師的趣味數(shù)學(xué)課》（天津科學(xué)技術(shù)出版社，2022年5月）

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