一個(gè)真實(shí)卻又有些荒謬的故事：

一位通用旗下品牌龐蒂亞克汽車(chē)用戶(hù)，發(fā)現(xiàn)每當(dāng)他購(gòu)買(mǎi)香草口味的冰激凌后，他的汽車(chē)就無(wú)法啟動(dòng)。于是這位顧客給通用寫(xiě)了兩封投訴郵件，并在第二次發(fā)送郵件后，成功揭開(kāi)了汽車(chē)與冰激凌之間的關(guān)系謎團(tuán)。

(資料圖)

圖片來(lái)源：圖蟲(chóng)創(chuàng)意

顧客的投訴郵件

這位顧客家有個(gè)傳統(tǒng)：每天晚飯后一家人開(kāi)車(chē)去吃冰激凌，并且每天晚上買(mǎi)不同口味的冰激凌。但是當(dāng)他去買(mǎi)冰激凌時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：每當(dāng)買(mǎi)香草冰激凌，汽車(chē)都不啟動(dòng)，但如果買(mǎi)其他口味的冰激凌，汽車(chē)就會(huì)很好地啟動(dòng)。

汽車(chē)公司的經(jīng)理雖然很懷疑事情的真實(shí)性，但還是派了一位工程師調(diào)查這個(gè)問(wèn)題。

工程師和車(chē)主見(jiàn)了面，約定一起去買(mǎi)香草冰激凌，他們到了商店，買(mǎi)完冰激凌，發(fā)現(xiàn)車(chē)真的不啟動(dòng)了。

工程師盡量還原場(chǎng)景，并連著三天晚上開(kāi)車(chē)去買(mǎi)冰激凌。

第一晚，買(mǎi)巧克力味的，車(chē)啟動(dòng)了。第二晚，買(mǎi)草莓味的，車(chē)啟動(dòng)了。第三晚，買(mǎi)香草味的，車(chē)不啟動(dòng)。

這到底是怎么回事？經(jīng)過(guò)仔細(xì)地勘察和分析，工程師發(fā)現(xiàn)，買(mǎi)香草冰激凌所用的時(shí)間遠(yuǎn)比買(mǎi)其他口味的要短。

香草冰激凌賣(mài)得最好，它被放在商店離門(mén)口很近的地方，不需要找，直接拿起來(lái)付賬即可。

購(gòu)買(mǎi)時(shí)間又和車(chē)的啟動(dòng)有什么關(guān)系？工程師對(duì)這個(gè)顧客的汽車(chē)進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)了“氣阻”的問(wèn)題。氣阻通常在發(fā)動(dòng)機(jī)較熱時(shí)出現(xiàn)，如果汽車(chē)的供油系統(tǒng)中出現(xiàn)氣阻，引擎吸燃料時(shí)燃料的供應(yīng)會(huì)變得斷斷續(xù)續(xù)，汽車(chē)會(huì)因此無(wú)法啟動(dòng)或者在行進(jìn)時(shí)熄火。

這位顧客購(gòu)買(mǎi)的龐蒂亞克汽車(chē)就有氣阻的問(wèn)題。購(gòu)買(mǎi)其他口味冰激凌花費(fèi)的時(shí)間足以讓引擎冷卻從而讓車(chē)順利啟動(dòng)，而當(dāng)顧客購(gòu)買(mǎi)香草冰激凌時(shí)，時(shí)間短，引擎太熱，氣阻無(wú)法及時(shí)消失，汽車(chē)因此無(wú)法啟動(dòng)。

工程師解決了顧客汽車(chē)的氣阻問(wèn)題，這位顧客以后在購(gòu)買(mǎi)任何口味的冰激凌時(shí)，再也沒(méi)有出現(xiàn)車(chē)無(wú)法啟動(dòng)的情況。

大部分人看完上文中的故事的收獲是：有時(shí)候問(wèn)題看起來(lái)無(wú)解，但在冷靜思考后會(huì)發(fā)現(xiàn)它的確可以被解釋。如果從數(shù)學(xué)思維深入分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，故事中包含了一個(gè)數(shù)學(xué)概念——條件獨(dú)立。

學(xué)會(huì)條件獨(dú)立思維，避免陷入混亂

條件獨(dú)立和條件概率有關(guān)。我先介紹什么是條件概率。條件概率通常寫(xiě)成P( A|C ) 的形式，即在事件C發(fā)生的情況下，事件A發(fā)生的概率。

例如，下雨天通常選擇打車(chē)上班。在這個(gè)例子里，C就是“下雨天”，A就是“打車(chē)”，而P( A|C ) 就是一個(gè)接近1的概率值（下雨天通常會(huì)打車(chē)）。如果去掉C下雨天這個(gè)條件，P( A ) 就是通常情況下你打車(chē)的概率。明顯可以看出，P( A|C ) 和 P( A ) 是不同的。

知道了什么是條件概率，我們就可以給出條件獨(dú)立的定義。在數(shù)學(xué)上，如果事件A和事件B關(guān)于事件C條件獨(dú)立，那么有：

P( B|A, C ) = P( B|C )

P( A|B, C ) = P( A|C )

P( B|A, C ) 是在事件A和事件C同時(shí)發(fā)生的情況下事件B發(fā)生的概率，P( B|C ) 是在事件C發(fā)生的前提下事件B發(fā)生的概率。這個(gè)公式告訴我們，在條件獨(dú)立的情況下，這兩個(gè)概率是相同的。

這樣說(shuō)有些抽象，我們來(lái)舉個(gè)例子：

一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每當(dāng)倫敦的出租車(chē)駕駛員穿夾克，發(fā)生車(chē)禍的概率都會(huì)大大增加。很多人猜想是穿夾克導(dǎo)致駕駛員的操作不便，從而增加了事故發(fā)生率。后來(lái)又經(jīng)過(guò)仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)：下雨天，駕駛員經(jīng)常穿夾克；下雨時(shí)，發(fā)生車(chē)禍的概率大。

這個(gè)例子中，事件A是“穿夾克”，事件B是“發(fā)生車(chē)禍”，事件C是事件背后共同的原因：“下雨天”，三者的關(guān)系如圖 7-2 所示，

也就是說(shuō)，我們知道了“下雨天”，自然就可以推斷出“發(fā)生車(chē)禍”的概率比較高，并且“駕駛員穿夾克”實(shí)際上并不能幫助我們更好地推測(cè)“發(fā)生車(chē)禍”的概率。

因此，“穿夾克”（事件A）和“發(fā)生車(chē)禍”（事件B）這兩個(gè)事件之間沒(méi)有因果關(guān)系，它們關(guān)于“下雨天”（事件C）條件獨(dú)立。

總結(jié)一下，如果事件A和事B關(guān)于事件C條件獨(dú)立，那么在知道事件C發(fā)生的前提下，知道事件A或事件B中的一個(gè)是否發(fā)生，并不能幫助我們更好地推斷出另外一個(gè)事件發(fā)生的概率。

這就是條件獨(dú)立的核心思想。

生活中常見(jiàn)的條件獨(dú)立案例

如果有一天你家里沒(méi)人，并且電器發(fā)生自燃、引發(fā)了火災(zāi)，你的左右鄰居看到后，都有一定概率會(huì)撥打報(bào)警電話，但是他們之間不會(huì)詢(xún)問(wèn)對(duì)方是否打過(guò)報(bào)警電話。

這個(gè)例子中有三個(gè)事件：事件A“鄰居A報(bào)警”，事件B“鄰居B報(bào)警”和事件C“房屋著火”。在這三個(gè)事件中，如果我們知道了“房屋著火”，那么我們立刻可以推斷“鄰居A報(bào)警”的概率很高。知道“鄰居B報(bào)警”，并不能幫助我們推斷出“鄰居 A 報(bào)警”的概率。

也就是說(shuō)，“鄰居A報(bào)警”和“鄰居B報(bào)警”關(guān)于“房屋著火”條件獨(dú)立。

再來(lái)看個(gè)條件獨(dú)立的例子：

心理學(xué)上有一個(gè)情緒ABC理論。這是美國(guó)心理學(xué)家阿爾伯特·艾利斯（Albert Ellis）提出的一種情緒調(diào)節(jié)法。這里的A代表激發(fā)事件（Activating event），是引發(fā)情緒和結(jié)果C的間接原因，而引起結(jié)果C的直接原因則是個(gè)體基于對(duì)激發(fā)事件A的認(rèn)知和評(píng)價(jià)所產(chǎn)生的信念B。（見(jiàn)圖7-5））

假如一個(gè)小學(xué)生學(xué)習(xí)不夠努力、成績(jī)不好，他的父母自然感到很生氣。很明顯，學(xué)習(xí)不夠努力、成績(jī)不好，就是父母生氣的直接原因。

可是，仔細(xì)分析后會(huì)發(fā)現(xiàn)，上文的推理過(guò)程并不完全正確?？赡芎⒆訉W(xué)習(xí)不好并不會(huì)直接讓家長(zhǎng)郁悶，讓家長(zhǎng)郁悶的推理鏈的中間還有一環(huán)，那就是家長(zhǎng)的認(rèn)知。在已知“家長(zhǎng)的認(rèn)知更全面”的前提下，知道“孩子的成績(jī)”，并不能幫助我們更好地推測(cè)“家長(zhǎng)的反應(yīng)”。

也就是說(shuō)，“孩子的成績(jī)”（事件A）和“家長(zhǎng)的反應(yīng)”（事件C）關(guān)于“家長(zhǎng)的認(rèn)知”（事件B）條件獨(dú)立。

回到開(kāi)頭買(mǎi)香草冰激凌汽車(chē)就啟動(dòng)不了的問(wèn)題：

其中事件A是“購(gòu)買(mǎi)香草冰激凌”，事件B是“車(chē)啟動(dòng)不了”，事件C是“購(gòu)買(mǎi)時(shí)間短”。

“車(chē)啟動(dòng)不了”的內(nèi)在原因是“購(gòu)買(mǎi)時(shí)間短”，而不是“購(gòu)買(mǎi)香草冰激凌”。在“購(gòu)買(mǎi)時(shí)間短”這個(gè)事件發(fā)生的前提下，知道“購(gòu)買(mǎi)香草冰激凌”并不能幫助我們更好地推斷“車(chē)啟動(dòng)不了”的概率。

所以，“購(gòu)買(mǎi)香草冰激凌”（事件A）和“車(chē)啟動(dòng)不了”（事件B）關(guān)于“購(gòu)買(mǎi)時(shí)間短”（事件C）條件獨(dú)立。

綜合上述生活中的案例，我們不難看出，兩個(gè)事件看似相關(guān)，實(shí)則關(guān)于另外一個(gè)事件條件獨(dú)立的情況非常普遍。如果意識(shí)不到這一點(diǎn)，就很容易犯把“相關(guān)性”當(dāng)成“因果性”的錯(cuò)誤。學(xué)會(huì)條件獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維，才能幫助我們有效避免陷入混亂。

文章由科普中國(guó)-星空計(jì)劃（創(chuàng)作培育）出品，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明來(lái)源。

作者：北京航空航天大學(xué)副教授、博士生導(dǎo)師 劉雪峰

審核：華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 副教授 鄧清泉

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